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没有表达式的函数

表达式只是函数的外在形式，对应才是其本质属性.有些函数(甚至是很著名的函数)根本就没有表达式.

例1          数论中有个极其重要的函数

φ(n)，称为欧拉函数，指的是从1到n之间与n互素的整数的个数.对于每一个正整数n，φ(n)都有唯一确定的值，比如φ(1)=1，φ(2)=1，φ(3)=2，…，但根本无法写出

φ(n)关于n的表达式，但这并不影响这个函数巨大的理论意义和实用价值.

例2  数论中另一个卓越的发现是素数个数的平均分布特性.用π(n)表示小于n的素数的个数，不难理解π(n)是n的函数，但谁也无法给出它的表达式.连伟大的高斯也只是猜想当n增大时，π(n)与 “渐近相等”.直到现在，人们也只是把这一猜想证明完毕，仍没能有更大的作为，但π(n)却发挥着巨大的作用.